物理竞赛｜复习公式 - Luquiesceneの小屋

一、力学#

1. 运动学#

角速率为角位置对时间的一阶导数，角加速度为角速度对时间的一阶导数：

\dot{\theta}=\omega \quad , \dot{\omega}=\beta

转动参考系中质点加速度，包含向心加速度与切向加速度两项：

\vec{a}=\vec{\omega}\times\vec{v}+\vec{\beta}\times\vec{r}

极坐标系下速度分解公式， $\hat{r}$ 径向、 $\hat{\theta}$ 横向单位矢量：

\vec{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta}\hat{\theta}

极坐标系下加速度分解公式：

\vec{a}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\hat{r}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta}

科里奥利力（科氏力）， $\vec{\omega}$ 为参考系角速度， $\vec{v}'$ 为质点相对参考系的相对速度：

\vec{F}=-2m\vec{\omega}\times\vec{v}'

2. 转动#

力矩定义式；力矩等于角动量对时间的变化率；刚体转动定律：

\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F} \quad \vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt} \quad M=I\beta

角动量定义式；刚体绕定轴角动量：

\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p} \quad L=I\omega

转动惯量定义（离散质点系）：

I=\sum m_i r_i^2

平行轴定理：刚体对任意轴转动惯量 = 对过质心平行轴转动惯量 + 质心到转轴距离相关项

I_O=I_c+md^2

垂直轴定理，适用于二维薄平面刚体：

I_z=I_x+I_y

常用转动惯量公式

物体	转轴	公式
细棒	过中心垂直	$I=\frac{1}{12}ML^2$
细棒	过端点垂直	$I=\frac{1}{3}ML^2$
圆环/薄圆柱环	过中心轴垂直于面	$I=MR^2$
实心圆盘	过中心轴垂直于面	$I=\frac12MR^2$
细圆环	直径	$I=\frac12MR^2$
实心球	中心线	$I=\frac25MR^2$
空心球壳	中心线	$I=\frac23MR^2$

3. 能量#

刚体转动动能公式：

E_k=\frac12I\omega^2

万有引力引力势能：

E_p=-G\frac{Mm}{r}

天体椭圆轨道总机械能（动能+引力势能， $a$ 为椭圆半长轴）：

E=-G\frac{Mm}{2a}

柯尼希定理：系统总动能 = 质心动能 + 相对质心运动动能

E_k=E_{k相对}+E_c

4. 简谐振动#

简谐回复力；角频率；周期公式：

F=-kx \quad , \omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad T=\frac{2\pi}{\omega}

简谐振动位移表达式， $A$ 振幅， $\varphi$ 初相位：

x = A\cos(\omega t+\varphi)

简谐振动微分方程：

\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0

简谐振动标准微分形式，解为三角函数振荡解：

\ddot{x}+\omega^2x=0

指数型微分方程，解为实指数（非振荡）：

\ddot{x}-\omega^2x=0

二、热学#

理想气体状态方程：

pV=nRT

理想气体压强微观表达式，式中 $n$ 代表分子数密度：

p=nkT

理想气体内能公式，单原子分子 $i=3$ ，刚性双原子分子 $i=5$ ：

E=n\frac{i}{2}RT

定容摩尔热容；迈耶公式（定压摩尔热容）：

C_V=\frac{i}{2}R \quad C_p=C_V+R

绝热指数（比热容比）：

\gamma=\frac{C_p}{C_V}

多方过程通用过程方程：

pV^n=\text{Const}

$n=0$ ：等压 $\quad n=1$ ：等温 $\quad n=\gamma$ ：绝热 $\quad n\to\infty$ ：等容

热力学第一定律， $Q$ 系统吸热， $W$ 外界对系统做功：

\Delta U=Q+W

卡诺热机效率， $T_1$ 高温热源温度， $T_2$ 低温热源温度：

\eta=1-\frac{T_2}{T_1}

三、光学#

1.几何光学#

折射率定义：

n=\frac{c}{v}

折射定律（斯涅尔定律）：

n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2

薄透镜成像公式：

\frac1u+\frac1v=\frac1f

横向放大率公式：

m=-\frac{v}{u}

单球面折射公式：

\frac{n_1}{u}+\frac{n_2}{v}=\frac{n_2-n_1}{r}

球面镜反射成像公式：

\frac1u+\frac1v=\frac1f

2.波动光学#

光程定义：折射率乘以几何路程

\Delta = nL

四、近代物理#

1.类氢原子#

库仑力提供圆周运动向心力：

k\frac{Ze\cdot e}{r^2}=m\frac{v^2}{r}

玻尔角动量量子化条件：

mvr = n\hbar

约化普朗克常数定义：

\hbar=\frac{h}{2\pi}

类氢原子能级（总能量，动能+势能）：

E=E_k+E_p = -\frac{mk^2Z^2e^4}{2\hbar^2n^2}

2.相对论#

相对论能量动量关系：

E^2=(m_0c^2)^2+(pc)^2

五、通用数学#

泰勒级数，函数在 $x=a$ 处展开：

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

洛必达法则，0/0或∞/∞型极限，逐次求导：

\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f''(x)}{g''(x)}=\dots

分部积分公式：

\int u\,dv = uv-\int v\,du

乘积微分法则：

d(uv)=u\,dv+v\,du

分式微分法则：

d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\,du-u\,dv}{v^2}

六、实验#

1.不确定度#

A类不确定度（多次测量统计不确定度），共 $n$ 组测量数据：

U_A=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(N_i-\bar{N})^2}{n(n-1)}}

B类不确定度（正态分布）：

U_B=\frac{\Delta x}{3}

B类不确定度（均匀分布）：

U_B=\frac{\Delta x}{\sqrt{3}}

合成标准不确定度：

U_C=\sqrt{U_A^2+U_B^2}

不确定度合成公式若间接测量量 $N,\ N=f(x,y,\dots)$ ， $x,y,\dots$ 为直接测量量：

函数关系	不确定度传递公式
$N=x\pm y$	$U_{(N)}=\sqrt{U(x)^2+U(y)^2}$
$N=xy \text{ 或 } N=\dfrac{x}{y}$	$\dfrac{U_{(N)}}{\lvert N \rvert}=\sqrt{\left(\dfrac{U(x)}{x}\right)^2+\left(\dfrac{U(y)}{y}\right)^2}$
$N=kx\ (k=\text{Const})$	$U(N)=\lvert k \rvert\ U(x)$
$N=x^k\ (k=\text{Const})$	$\dfrac{U(N)}{\lvert N \rvert}=\lvert k \rvert\dfrac{U(x)}{x}$

2.最小二乘法#

一元线性拟合函数 $y = b_1 x + b_0$ ，斜率 $b_1$ 、截距 $b_0$ 满足方程组：

\begin{cases} b_1=\dfrac{\overline{xy}-\bar{x}\cdot\bar{y}}{\overline{x^2}-(\bar{x})^2}\\[6pt] b_0=\bar{y}-b_1\bar{x} \end{cases}

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一、力学#

1. 运动学#

2. 转动#

3. 能量#

4. 简谐振动#

二、热学#

三、光学#

1.几何光学#

2.波动光学#

四、近代物理#

1.类氢原子#

2.相对论#

五、通用数学#

六、实验#

1.不确定度#

2.最小二乘法#

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1.几何光学#

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